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高中生學習微積分的現存問題和教學方法

來源:黃岡師范學院學報 作者:周學君,劉婕,蔡志勇
發布于:2021-01-26 共6629字

  摘    要: 2017版新課標對高中微積分的內容和要求做出了較大調整,使得在微積分教學時遇到了一定困難。本文以新課標為出發點,歸納新課標中關于微積分的內容和要求的主要變化,揭示現階段高中生在學習微積分中存在的問題,并針對這些問題提出具體的教學建議和策略,為新課標背景下高中微積分的教學提供一定思考和改革策略。

  關鍵詞: 新課程標準; 微積分; 高中數學; 教學;

  隨著課程標準的不斷改革,微積分在高中階段越來越受到重視。教育部頒布《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱新課標),對微積分的教學提出了更高的要求。事實上,微積分中所蘊含的美育價值、思維價值和應用價值,對高中生辯證思維的發展、解題思路的拓展和后續學習都有著十分重要的影響。因此,在新課標下,高中微積分教學成為數學教師亟需思考和研究的新課題。

  微積分在高中數學中經歷了多次改革,廣大數學教育工作者針對歷次改革的新內容、新要求,對高中微積分教學提出了許多建議。如孟季和[1]在《中學微積分教材教法》中,對適應1978年教學大綱改革的微積分教學的教法進行了探討;楊鐘玄[2]根據新《數學教學大綱》的改革情況,結合當時數學課本弊端,提出要將數列極限的定義由抽象的“ε-N”符號語言改成更為直觀語言的建議;匡繼昌[3]尖銳地指出教學大綱刪去極限內容的錯誤性,并表示這種無極限的導數模式不是創新,而是一種退步;李倩等[4]對課程標準中所列出的高中微積分內容從教學價值、教學實施方面進行了不同的探討,認為高中微積分教學要充分體現高中微積分和大學微積分對學生的不同要求,不能讓學生產生對運用微積分知識過度依賴的心理。因此,高中課程改革中微積分教學方法研究一直是數學教師教學研究的熱點課題。

  另一方面,雖然我國數學教育工作者關于高中微積分教學研究較為廣泛,但是在新課標框架下,探討高中微積分教學的研究卻不多。本文首先總結歸納新課標中微積分內容及其要求變化,然后剖析高中生學習微積分普遍存在的問題,最后有針對性地提出在新課標背景下高中微積分教學的幾點策略。
 

高中生學習微積分的現存問題和教學方法
 

  1 、新課標中微積分內容和要求的變化

  新課標對于微積分內容和要求做出了較大調整,尤其是對于理工科學生,其在內容的難度、深度、廣度以及學習目標等方面都有很大的提高。表 1以新課標A類為例,比較了其與2003年《普通高中數學課程標準(實驗)》的異同。經過比較和分析,新標準關于微積分的變化可歸納為以下三個方面:

  1.1 、注重與大學數學的接軌

  在2003版的高中數學課程標準中,考慮到高中生的認知水平,當時我國高中數學涉及微積分的知識無論是從內容的深度、廣度和難度上都較為淺顯。在世界范圍內,相對于其他發達國家和部分地區高中數學課程標準中有關微積分內容,我國高中數學微積分內容的難度排名也相對靠后[5]。從表1可看出,新課標在微積分內容和結構上作出了調整。在內容上,數列極限、函數極限、連續函數、二階導數、導數的應用、定積分的理論知識部分有明顯的擴充和具體要求。在結構上,逾越極限直接通過大量的實例來理解導數的概念,修改為先學極限,再從極限的基礎上給出導數這一數學定義,該教學結構與大學微積分基本一致。另外,新課標改善了高中和大學微積分內容的斷點問題,在知識的建構上逐步與大學微積分接軌,其課程的連貫性和延續性得到進一步增強。

  表1 新課標中A類微積分內容和要求的調整
表1 新課標中A類微積分內容和要求的調整

  1.2 、注重數學符號語言的培養

  數學符號語言是一種簡潔、高效的思考與表達方式[6]。一直以來,關于是否在高中階段引入極限符號語言一直存在爭議。數學課程標準研制組在《普通高中數學課程標準 (實驗)解讀》中明確指出高中學習極限的弊端:若按照先學極限再學導數的順序,極限的抽象概念會對理解導數思想和本質產生不利影響[7]。也有不少數學教育學者指出,高中極限內容的刪減只會對學生理解微積分會產生障礙。新課標再一次增設了極限內容,對極限內容的學習要求由了解上升到理解的層面,不僅給出了極限的數學符號定義,并且要求學生掌握極限的相關性質及其證明。此外,有關連續函數、導數、定積分的概念,新課標也都給出了嚴格的定義和證明,這充分體現了新課標對培養學生數學符號語言的表達能力的重視。

  1.3 、注重微積分的實際應用

  微積分是研究現代數學的基礎,也是解決其他領域技術的重要工具。新課標更加強調借助幾何直觀和物理實際背景來引入微積分思想,并且對微積分的實際應用能力提出了更高的要求。事實上,微積分在研究數學的函數變化、物理學的物體變速運動以及經濟學的生產優化等問題中起到關鍵作用。如在初等數學中,學生對于曲邊圖形面積和旋轉體體積的計算往往倍感無從下手,但從微積分的極限思想出發,將曲邊圖形和旋轉體劃分為無數個無限小的面積微元和體積微元,再近似求和,便能有效地推導出曲邊圖形和旋轉體積的求解公式。又如在物理的運動學問題中,對于常見的勻速直線運動等簡單的運動形式,學生往往能得心應手,而對于變速直線運動來說,很多學生往往一籌莫展,但如果使用微積分工具便能很好地解決[8]。由此可見,提升微積分的實際應用能力是適應新時代數學教育發展,培養應用型人才的有效手段。

  2、 高中生學習微積分存在的問題

  高考是高中生數學學習的指揮棒,目前高考對于微積分內容的考查在分量和難度上普遍要求不高,導致高中生學習微積分存在很多問題,主要表現在以下三個方面:

  2.1、 對微積分課程的學習感到枯燥

  新課標加入微積分相關概念和定理,致使高中微積分課程理論性明顯增強。然而,現有教材有關微積分的內容安排比較繁雜,并且缺乏針對性和系統性,導致難以調動學生學習的積極性。許多高中教師在教學微積分的過程中,仍然采取傳統的灌輸式教學模式,缺乏對微積分所蘊含的思維價值、文化價值和應用價值的挖掘,導致學生對微積分的學習存在畏難情緒。另外,伴隨高考升學壓力,高中微積分教學呈現出一種應試化傾向。由于微積分內容難度較大,致使教師更多專注于書本和考試,偏重于公式的推導、題目的演算等機械化的訓練,忽視了對學生的素質能力的培養,從而加重了學生對于微積分枯燥的刻板印象。

  2.2 、對微積分概念的理解不夠透徹

  為了準備高考,許多學生對于微積分的學習僅停留在對導數公式的記憶上,不斷重復公式演算習題的訓練,對微積分概念的認識浮于表面,死記硬背占很大的比重[4]。一方面,微積分本身對于初學者來說難度較大,尤其是對那些抽象的數學符號語言,讓學生從常量思維跳躍到變量思維,難以接受,從而產生一種抗拒的心理。另一方面,由于初等數學內容的限制,高中數學教材一些知識點缺乏邏輯上的嚴密性。在課改前,我國大多數的高中教材都刪去了極限的內容,對極限的思想一筆帶過,加大了學生理解微積分的難度,再加上高中教師教學上偏重于題目的直觀講解,造成學生對一些基本概念的理解產生偏差。

  2.3 、對微積分思難以做到靈活運用

  著名數學教育家R·柯朗說:“微積分是人類思維的偉大成果之一[9]”。微積分的創立是一代又一代數學家思維方式發生變化的結果。微積分以函數為主要對象,分析函數的常量和變量間的關系,它打破了傳統的常量一直保持不變的思想,使數學變為一種動態的語言。在高中階段常常會遇到一些研究較窄、較深的題目,在解答這一類題目時,學生常常會將實現目標的手段當作解題目標,并由此陷入繁雜的運算或是中斷解題[10],如此,在解題過程中將耗費大量的變形運算才能達到目標結果。在很多情況下,微積分的思想能為解答此類題目開拓思路,但由于受到高中階段大量的填鴨式訓練的影響,許多學生的思想被禁錮,難以做到對微積分思想的靈活運用。

  3 、高中數學微積分的教學策略

  高中微積分內容主要是微積分學的基礎知識,教師的教學應符合微積分初學者的認知水平,要將微積分知識在課堂上通俗、直觀、生動地呈現給學生。在高中數學微積分模塊的教學過程中,教師可以通過講述與微積分密切相關的數學史小故事,利用數形結合教學,運用微積分工具達到激發學生學習興趣、增強概念理解和豐富學生解決問題能力等目的。

  3.1 、穿插數學史小故事,讓學生感受微積分的趣味性

  高中正是學生世界觀形成的關鍵時期,在微積分教學過程中適當地引入數學史的小故事,不僅有助于擺脫微積分的枯燥性,激發學生的學習興趣,還能讓學生感受文化熏陶,體會數學的人文價值,提升自身的文化修養。因此,教師在微積分教學中,應充分挖掘微積分思想中的美育價值,通過數學文化引導學生感受微積分思想文化中所蘊含的人文價值,從而培養學生感受美、鑒賞美、創造美的能力[11]。

  如在介紹微積分符號的時候,可以穿插數學史上著名“牛頓-萊布尼茨之爭”的故事。在微積分發展史中,關于誰是創立微積分第一人一直存在著爭論。1684年,萊布尼茨首次公開提出微分的概念,兩年后,他發表了一篇論文,將積分符號記為“∫”據萊布尼茨的手稿記載,1675年他已發現并完成了一整套微分學。然而,英國皇家學會卻認定微積分的創始人是牛頓,并指出萊布尼茨抄襲了牛頓的“流數術”。其實,經后人的研究發現,牛頓和萊布尼茨基于不同的思維模式創立了微積分。牛頓從物理的力學出發,運用集合方法創建了微分學和積分學,并用“y˙”表示導數。萊布尼茨從幾何問題出發,利用分析學方法引出微積分概念,并引進“dx、dy”作為微分符號,這一發明相較于牛頓的符號更清楚、直觀、合理,而被廣泛的采納沿用至今。至此,人們才普遍認為牛頓和萊布尼茨均為微積分的第一創立者,因此,教材將微積分基本公式取名為“牛頓-萊布尼茨公式”。通過講述微積分的數學史小故事,引出微積分符號,不僅能夠有效地加強學生記憶,而且可以讓學生對微積分的創建歷史有了一個初步的了解,從中感受數學的人文價值。另一方面,從課堂教學來看,穿插數學史小故事,有助于學生擺脫微積分課堂枯燥的刻板印象,激發學生的學習興趣,同時也能讓學生感受到微積分中的正能量,從微積分名人的身上汲取養分,學習他們的精神,達到情感育人的目標[12]。

  3.2 、利用數形結合教學,增強學生對微積分概念的理解

  新課標改善了高中微積分和大學微積分的斷點問題,要求高中微積分中有關極限、導數、定積分等內容逐步與大學微積分接軌,這樣提升了高中生對微積分概念理解的難度。在微積分教學中,教師應充分考慮高中生的認知水平和接受能力,在講授抽象的數學概念和定理時,教師可以結合它的“形”直觀地向學生傳遞其中蘊含的意義。通過數形結合引導學生主動參與到觀察圖像和公式的推導過程中,不僅有利于學生對于數學概念的理解,同時也能讓學生充分感受到微積分和初等數學的差異性[13]。

  如在講授函數極限的ε語言時,對任意給定ε>0,在直角坐標平面上以y=A為中心線,寬2ε的窄帶,可以找到某個M>0,使得在直線x=M的右側,曲線y=f(x)完全落在窄帶內(如圖1所示)。教師可先運用圖像法表示函數極限的幾何意義,從而引導學生接受函數極限的ε語言,避免死記硬背概念。將“數”與“形”緊密結合應用到數學教學當中,不僅能讓復雜的問題變得通俗易懂,而且有助于提高課堂的生動性和趣味性。

  又如,在推導冪函數的求導公式時,可以先從最簡單的函數y=x2出發。根據導數的概念,找到x單位的變化引起的函數變化率即可,即dx/dy可以被理解成是函數y=x2圖像的切線斜率。如圖2所示,在坐標原點處,切線與x軸重合,所以斜率是0,且隨著橫坐標x的增大切線斜率會不斷增大,引導學生觀察出y=x2的導數與自變量x正相關這一現象。

  圖1 函數極限的幾何意義
圖1 函數極限的幾何意義

  圖2 函數y=x2切線斜率與自變量x正相關
圖2 函數y=x2切線斜率與自變量x正相關

  觀察一個邊長為x的正方形,假如給x一個微小的增量dx,此時其面積的增量可表示為dy(如圖3所示),即由x的微小增量dx引起的y=x2的值的微小增加量dy。正方形面積多出三個部分,即兩個小長方形和一個小正方形,如此dy=2xdx+dx2,當dx無限趨近于0,一個微小的變化量的平方(dx)2可以忽略不計,所以dy=2xdx,即dydx=2x,最終得到了函數y=x2的求導公式,也應證了先前觀察到的規律。

  同樣,在推導函數y=x3的求導公式時,也可以考慮是在一個棱長為x的立方體上,給橫坐標x一個微小的增量dx,其體積的增加量為3x2dx,故每單位x增加量引起x3的變化是3x2。由此,引導學生發現這兩個函數的導數都是形如dydx=nxn?1,即可得到冪函數的一般求導公式。在教學過程中,通過直觀的圖形輔助求導公式的推導,不僅可以引導學生領會微積分思想,簡化學生對導數概念的理解,還能通過親歷微積公式的推導過程,培養學生邏輯思維、演繹推理的能力。

  圖3 函數y=x2自變量變化
圖3 函數y=x2自變量變化

  3.3、 運用微積分工具,豐富學生解決問題的手段

  微積分是打開現代數學大門的重要理論基礎,其所蘊含的思想能為學生解決問題提供獨特的方法和思路[14]。在高中階段,一些數學問題的求解與討論過程相當繁瑣,而微積分的引入拓展了學生的思維,能夠使學生從枯燥而重復低級的訓練中走出來。教師在實際教學過程中,應有別于傳統的灌輸式教學,充分借助微積分思想方法,豐富學生解決問題的手段,提高學生微積分的應用能力。

  如證明對任意的正整數n,不等式ln(1n+1)>1n2?1n3都成立;又如,已知一力場由以橫軸正向為方向的常力F構成,當一質量為m的質點沿圓周x2+y2=R2,按逆時針方向走過第一象限的弧段時,求場力所作的功。這些問題如果用常規方法很難解決,但如果將問題轉換為討論函數的單調性和定積分的問題,學生則會有一種醍醐灌頂的感受。由此可見,微積分思想的引入可以拓展學生的解題思路,將一些復雜的問題化繁為簡,如此可達到靈活運用微積分思想解決實際問題的目的。

  再如,求曲線C:y=3x-x3過點A(2,-2)的切線方程。學生解決該問題的常規思路是,由點A在曲線C上,得到切線斜率為k=y′=-9,因此過點A的切線方程為9x+y-16=0。這一解法的錯誤在于遺漏切線方程y+2=0的情況。在求切線方程時,學生很容易將問題簡化為求已知曲線與直線只有一個交點的情形,直接將兩個方程聯立求單根,這種方法雖能找到切線方程,但得到的答案卻不完整。出現錯誤的根本原因在于對切線概念理解不準確,僅停留在片面的認識上,并未真正領會導數的思想。正確理解是,切線是曲線的割線與曲線交點由一端沿曲線無限地接近于另一端時的極限位置,這樣就不能僅憑直線與曲線的公共點個數來判斷切線的條數。因此,在極限的教學中,教師如果能夠通過分析變量與常量之間的內在聯系,挖掘微積分思想的來源,讓學生體會近似與精確、有限與無限的之間動態變化規律,能有效訓練與培養學生的辯證思維,豐富學生解決問題的手段。

  在新一輪的高中數學課程改革中,微積分知識的難度、深度和廣度都有了一定提高。較以往的課程標準而言,新課標更加注重高中微積分和大學微積分的銜接、數學符號語言的表達能力和微積分的實際運用。與此同時,微積分課程難度的增加也給高中生的學習帶來了更多的挑戰,主要體現在對微積分理論的學習感到枯燥、對微積分概念理解不透徹以及對微積分思想難以做到靈活運用等方面。因此,探討高中微積分的教學策略具有重要意義。本文在剖析新課標中微積分內容和要求的基礎上,針對現階段高中生學習微積分存在的問題提出對應的教學策略。在實際教學過程中,教師要以學生為本,從高中生的認知水平出發,以直觀易懂,生動有趣的教學揭示微積分所蘊含的數學之美。通過穿插數學史的小故事,結合數形結合教學,運用微積分工具等教學方法來激發學生學習微積分的興趣、增強理解微積分概念和運用微積分解決問題的能力,以期達到提升學生的數學核心素養的目的?傊,新課標下微積分的教學研究是一個全新的課題,如何在教學中充分體現微積分的教育價值仍存在很多探討的空間。

  參考文獻

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作者單位:黃岡師范學院數學與統計學院 蘄春縣第一高級中學
原文出處:周學君,劉婕,蔡志勇.新課標下高中微積分的教學策略[J].黃岡師范學院學報,2020,40(06):121-125.
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